La geometría. ... Ana Paula Guzmán

Figuras Planas - Las Líneas - Los Polígonos - Los Cuerpos Geométricos

Las Líneas

La geometría.

La palabra geometría es una palabra compuesta del prefijo geo, de origen griego, que hace referencia a todo aquello relacionado con la tierra; y metríaque implica el concepto de medición.

Se designa como el nombre de geometría a una disciplina lógica y científica, el objeto de cuyo estudio son genéricamente las figuras, el reconocimiento de sus elementos, la determinación de sus formas conceptuales y las relaciones matemáticas entre todos sus componentes.

Concepto de línea

Todas las figuras, en último análisis, están compuestas por puntos, que es la unidad gráfica mínima.

Una cierta cantidad de puntos situados cada uno junto al otro, en una misma dirección, dan origen a un trazo contínuo, que es una línea.

Una línea es una sucesión contínua de puntos:

——————————————

Las líneas pueden ser:

Rectas — cuando todos los puntos se encuentran alineados en una misma dirección.
Curvas — cuando los puntos no se encuentran alineados en una misma dirección; aunque, al menos durante cierta distancia, el cambio de dirección responda a un criterio de continuidad.

La línea recta, la semirrecta, el segmento de recta.

Si bien una línea recta se dibuja siempre con una cierta extensión delimitada — por razones prácticas dado que sería imposible dibujar una recta sin final — en geometría se utiliza el concepto ideal de que una recta es de longitud infinita en sus dos extremos.

A los efectos de su individualización en el estudio, las líneas rectas se designan con una letra minúscula, siguiendo el orden del abecedario:

a b

Cuando se desea delimitar una recta, se marca sobre ella un punto, al cual se llama origen. También por un motivo convencional, en geometría todo punto se individualiza con una letra mayúscula, siguiendo el orden alfabético.

Cuando en una recta se encuentra marcado un origen, A, cada uno de los tramos a partir del origen, constituye una semirrecta:

a A b
———————|—————

Cuando en una recta se marcan sobre ella dos puntos, a los cuales se llama extremos, el tramo de recta comprendido entre esos dos puntos constituye un segmento de recta; que se individualiza mencionando sus extremos, como el segmento A,B:

A B
——|———————|———

Generalmente, se traza un segmento solamente entre sus extremos:

A B
|—————|

Clases de líneas rectas en el espacio.

Atendiendo a la posición que una recta asume en el espacio, en relación a la fuerza de gravedad o atracción terrestre, las rectas pueden ser:

Geometría Plana

Se llama geometría plana aquella rama de la geometría que estudia las figuras existentes en un plano; distinguiéndola de la que estudia los volúmenes existentes en todas las dimensiones del espacio.

El Plano

En general, las cosas existen en el espacio; es decir, en las tres dimensiones conformadas por el alto, el ancho y el largo. Experimentalmente, podemos considerar que algunas cosas — como por ejemplo una lámina de vidrio — solamente existen en dos de esas dimensiones, el ancho y el largo; si prescindimos de que, por más fina que sea, de todos modos tiene un alto, que cuando es muy pequeño suele denominarse espesor.

Sin embargo, empleando la imaginación — y aprendiendo así a hacer abstracciones matemáticas y geométricas — podemos pensar en una lámina consistente solamente en el ancho y el alto, sin ningún espesor.

En geometría, se denomina un plano a una entidad de existencia ideal o teórica, que solamente tiene dos dimensiones, considerándose inexistente la tercera.

En ese supuesto imaginario, las tres rectas de la anterior figura, podrían considerarse ubicadas en un mismo plano, no como colocadas libremente en un espacio de tres dimensiones, sino como aparecen a nuestra vista, en dos dimensiones. Pero entonces, la condición de horizontal, vertical, o inclinada, ya no dependería de su posición en cuanto a la fuerza de atracción de la tierra; sino que quedaría referida a la posición en que colocáramos ante nosotros el papel en que estuvieran dibujadas.

Clases de Rectas en un Plano

Dos rectas — o más — pueden encontrarse entre sí en distintas posiciones posibles:

Dos rectas ubicadas en el mismo plano se denominan paralelas — cuando todos los puntos de ambas se encuentran a la misma distancia.

Dos rectas ubicadas en el mismo plano se denominan divergentes — cuando los puntos de ambas van aumentando su distancia.

Dos rectas ubicadas en el mismo plano se denominan convergentes — cuando los puntos de ambas van dismuyendo su distancia; y eventualmente ambas rectas se cruzan en un punto.

Es fácil advertir que en los dos últimos casos, en realidad se está haciendo referencia a semirrectas; por cuanto las divergentes resultan convergentes si se invierte el sentido de la comparación de sus distancias, y las convergentes, luego de cruzarse, se tornan divergentes.

Clases de Rectas Convergentes

Las rectas convergentes, pueden ser:

Perpendiculares — cuando dividen el plano en cuatro partes iguales; es decir, cuando al cruzarse ninguna resulta estar inclinada respecto de la otra.

Oblicuas — cuando se cruzan en forma inclinada entre ellas, y por lo tanto dividen el plano en cuatro sectores de los cuales dos son iguales, pero distintos de los otros dos que a su vez son iguales entre sí.

Líneas Curvas

Las líneas curvas son, en sentido general, todas las que no son rectas; pero en geometría las líneas curvas tienen de todos modos alguna regularidad en su desarrollo, de manera que evolucionan en cierta continuidad.

Clases de Líneas Curvas Regulares

Las líneas curvas regulares pueden clasificarse de conformidad con el factor que constituye la determinante de su forma, que en algunos casos resulta bastante complejo.

La circunferencia — es una curva regular cerrada, que se caracteriza porque todos sus puntos están a igual distancia de un mismo punto, llamado centro. Por consiguiente, todos los segmentos determinados por la unión del centro con cualquiera de los puntos de la circunferencia son iguales.

La elipse — es una curva regular cerrada, que se caracteriza porque la suma de la distancia de cada uno de sus puntos respecto de dos puntos situados en su interior, llamados focos, es siempre igual.

La espiral — es una curva regular abierta, que se caracteriza porque gira sobre sí misma, de manera que la distancia mínima entre cada uno de los puntos de las vueltas siguiente y anterior, es siempre igual.

La parábola — es una curva regular abierta, que se caracteriza porque cada uno de sus puntos está a una distancia siempre igual, determinada la sumade su distancia a un punto de una recta llamada directriz, más su distancia a un punto situado sobre la perpendicular a la directriz, llamado foco.